设关于x的函数f(x)=mx2-(2m2+4m+1)x+(m+2)lnx,其中m为R上的常数,若函数f(x)在x=1处取得极大值0. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,求实数k的取值范围

问题描述:

设关于x的函数f(x)=mx2-(2m2+4m+1)x+(m+2)lnx,其中m为R上的常数,若函数f(x)在x=1处取得极大值0.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,求实数k的取值范围;
(3)设函数g(x)=(p−2)x+

p+2
x
,若对任意的x∈[1,2],2f(x)≥g(x)+4x-2x2恒成立,求实数p的取值范围.

(1)f′(x)=2mx−(2m2+4m+1)+

m+2
x
=
(2mx−1)[x−(m+2)]
x

因为函数f(x)在x=1处取得极大值0
所以,
f′(1)=2m−(2m2+4m+1)+m+2=−2m2−m+1=0
f(1)=m−(2m2+4m+1)=−2m2−3m−1=0
解m=-1
(2)由(1)知f′(x)=
(−2x−1)(x−1)
x
,令f'(x)=0得x=1或x=−
1
2
(舍去)
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
所以,当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(1)=ln1-1+1=0
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0
所以,当k<0时,函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,
(3)设F(x)=2f(x)−g(x)−4x+2x2=2lnx−px−
p+2
x
F(x)=
2
x
−p+
p+2
x2
−px2+2x+(p+2)
x2

当p=0时,F(x)=
2x+2
x2
>0
,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-2<0不成立,(舍)
当p≠0时F(x)=
−p(x+1)(x−
p+2
p
)
x2

1+
2
p
<−1
,即-1<p<0时,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-2p-2<0,不成立
−1<1+
2
p
≤1
,即p<-1时,F(x)在[1,2]递增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得p≤-1,所以,此时p<-1
当p=-1时,F(x)在[1,2]递增,成立;
当p>0时,F(1)=-2p-2<0不成立,
综上,p≤-1