答
(1)f′(x)=2mx−(2m2+4m+1)+=
因为函数f(x)在x=1处取得极大值0
所以,
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f′(1)=2m−(2m2+4m+1)+m+2=−2m2−m+1=0 |
f(1)=m−(2m2+4m+1)=−2m2−3m−1=0 |
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解m=-1
(2)由(1)知f′(x)=,令f'(x)=0得x=1或x=−(舍去)
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
所以,当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(1)=ln1-1+1=0
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0
所以,当k<0时,函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,
(3)设F(x)=2f(x)−g(x)−4x+2x2=2lnx−px−F′(x)=−p+=
当p=0时,F′(x)=>0,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-2<0不成立,(舍)
当p≠0时F′(x)=
当1+<−1,即-1<p<0时,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-2p-2<0,不成立
当−1<1+≤1,即p<-1时,F(x)在[1,2]递增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得p≤-1,所以,此时p<-1
当p=-1时,F(x)在[1,2]递增,成立;
当p>0时,F(1)=-2p-2<0不成立,
综上,p≤-1