设f（x）=log 121−axx−1（a为常数）的图象关于原点对称（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（12）x+m恒成立，求实数m的取值范围．
问题描述：
设f（x）=log
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（a为常数）的图象关于原点对称1−ax x−1
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个x的值，f（x）＞（
）x+m恒成立，求实数m的取值范围． 1 2
答
（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log121+ax−x−1=-log121−axx−1，即 log121+ax−x−1=log12x−11−ax，∴1+ax−x−1=x−11−ax，解得a=±1． …（3分）经检验...
答案解析：（1）由题意可得，f（x）为奇函数，故有 f（-x）=-f（x），即 log
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=-log1+ax −x−1
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，化简可得1−ax x−1
=1+ax −x−1
，由此解得a的值．x−1 1−ax
（2）由（1）可得f（x）=log
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，令 g（x）=x+1 x−1
=1+x+1 x−1
，由于2 x−1
在 区间（1，+∞）内单调递减，可得函数g（x）在区间（1，+∞）内2 x−1
单调递减，从而得到函数f（x）=log
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在区间（1，+∞）内单调递增．x+1 x−1
（3）令h（x）=f（x）-(
)x，则由（2）得h（x）在[3，4]上单调递增，故g（x）的最小值为g（3），运算求得结果．1 2
考试点：函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．
知识点：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，汗水肚饿恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．