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已知f（x+1）=2f(x)f(x)+2，f（1）=1，（x∈N*），猜想f（x）的表达式为（　　）A. f（x）=42x+2B. f（x）=2x+1C. f（x）=1x+1D. f（x）=22x+1

分类: 作业答案 • 2022-01-04 13:31:05
问题描述：

已知f（x+1）=

2f(x)
f(x)+2
，f（1）=1，（x∈N*），猜想f（x）的表达式为（　　）
A. f（x）=
4
2x+2

B. f（x）=
2
x+1

C. f（x）=
1
x+1

D. f（x）=
2
2x+1

答

∵f（x+1）=

2f(x)
f(x)+2
，f（1）=1，（x∈N*），
∴
1
f(x+1)
＝
f(x)+2
2f(x)
＝
1
2
+
1
f(x)
．
∴数列{
1
f(x)
}是以
1
f(1)
＝ 1为首项，
1
2
为公差的等差数列．
∴
1
f(x)
＝1+
1
2
(x−1)=
x+1
2
，
∴f（x）=
2
x+1
，
故选B．
答案解析：把f（x+1）=
2f(x)
f(x)+2
取倒数得
1
f(x+1)
＝
f(x)+2
2f(x)
＝
1
2
+
1
f(x)
，根据等差数列的定义，可知数列{
1
f(x)
}是以
1
f(1)
＝ 1为首项，
1
2
为公差的等差数列，从而可求得f（x）的表达式．
考试点：函数解析式的求解及常用方法．
知识点：本题主要考查抽象函数求解析式，进而转化为数列研究数列的通项，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，知识的迁移能力，属中档题．

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