在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位,再沿x轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A,直线x=3与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C.(1)抛物线解析式;(2)求△ABC面积;(3)点P在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP与△ABC相似,求所有满足条件的P点坐标.

问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位,再沿x轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A,直线x=3与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C.
(1)抛物线解析式;
(2)求△ABC面积;
(3)点P在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP与△ABC相似,求所有满足条件的P点坐标.

(1)将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位,则y=2x2+1,
再沿x轴向右平移两个单位后y=2(x-2)2+1,
所以平移后抛物线的解析式为y=2(x-2)2+1;
(2)∵平移后抛物线的解析式为y=2(x-2)2+1.
∴A点坐标为(2,1),
设直线OA解析式为y=kx,将A(2,1)代入
得k=

1
2

∴直线OA解析式为y=
1
2
x,
将x=3代入y=
1
2
x得;y=
3
2

∴C点坐标为(3,
3
2
),
将x=3代入y=2(x-2)2+1得y=3,
∴B点坐标为(3,3).
∴S△ABC
3
4

(3)∵PA∥BC,
∴∠PAB=∠ABC
①当∠PBA=∠BAC时,PB∥AC,
∴四边形PACB是平行四边形,
∴PA=BC=
3
2

∴P1(2,
5
2
),
②当∠APB=∠BAC时,
AP
AB
AB
BC

∴AP=
AB 2
BC

又∵AB=
(3−2) 2+(3−1) 2
=
5

∴AP=
10
3

∴P2(2,1+
10
3
)即P2(2,
13
3
).
综上所述满足条件的P点有(2,
5
2
),(2,
13
3
).
答案解析:(1)根据题意可知平移的规律可得函数的解析式为:y=2(x-2)2+1;
(2)有(1)求出其顶点A和B点的坐标,然后用待定系数法求出直线AO的解析式,即可求出C点的坐标,根据这三点的坐标即可求出△ABC的面积;
(3)由于不确定是哪组角对应相等,因此要分两种情况进行讨论:
①当∠PBA=∠CBA时,四边形PACB是平行四边形,因此PA=BC,由此可求出P点的坐标.
②当∠APB=∠BAC时,可根据关于AP,AB,BC的比例关系式,求出AP的长,进而可求出P的坐标.
综上所述即可求出符合条件的P点的坐标.
考试点:二次函数综合题.

知识点:本题考查了二次函数图象的平移,图形面积的求法,相似三角形的判定和性质等知识点,主要考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.