已知两个反比例函数y=kx(k>0)和y=6x在第一象限内的图象如图所示,点P是y=6x图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=kx的图象于点A,B.(1)求证:△ODB与△OCA的面积相等;(2)记S=S△OAB-S△PAB,当k变化时,求S的最大值,并求当S取最大值时△OAB的面积.

问题描述:

已知两个反比例函数y=

k
x
(k>0)和y=
6
x
在第一象限内的图象如图所示,点P是y=
6
x
图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=
k
x
的图象于点A,B.

(1)求证:△ODB与△OCA的面积相等;
(2)记S=S△OAB-S△PAB,当k变化时,求S的最大值,并求当S取最大值时△OAB的面积.

(1)∵点AB均是反比例函数y=

k
x
(k>0)上的点,PC⊥x轴,PD⊥y轴,
∴S△ODB=S△OCA=
k
2
,即△ODB与△OCA的面积相等;
(2)设P(x,
6
x
),则A(x,
k
x
),B(k,
6
x
),
∵点P在反比例函数y=
6
x
的图象上,
∴S矩形PDOC=6,
∵S△ODB=S△OCA=
k
2

∴S四边形PBOA=S矩形PDOC-(S△ODB+S△OCA)=6-k,
∴S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB=6-k-2×
1
2
6
x
-
k
x
)(x-
kx
6
)=k-
k2
6

∴当k=
3
2
时S有最大值,S最大=
3
2
-
(
3
2
)2
6
=
9
8

当k=
3
2
时,S△PAB=
1
2
6
x
-
k
x
)(x-
kx
6
)=
29
32

∴S△OAB=S+S△PAB=
9
8
+
29
32
=
65
32

答案解析:(1)直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可;
(2)设出P点坐标,进而可得出A、B两点坐标,由反比例函数系数k的几何意义可知S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB,再把A、B、P三点的坐标代入即可.
考试点:反比例函数综合题.

知识点:本题考查的是反比例函数综合题,树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键.