已知两个反比例函数y=kx(k>0)和y=6x在第一象限内的图象如图所示,点P是y=6x图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=kx的图象于点A,B.(1)求证:△ODB与△OCA的面积相等;(2)记S=S△OAB-S△PAB,当k变化时,求S的最大值,并求当S取最大值时△OAB的面积.
已知两个反比例函数y=
(k>0)和y=k x
在第一象限内的图象如图所示,点P是y=6 x
图象上任意一点,过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴,垂足分别为C,D.PC、PD分别交y=6 x
的图象于点A,B.k x
(1)求证:△ODB与△OCA的面积相等;
(2)记S=S△OAB-S△PAB,当k变化时,求S的最大值,并求当S取最大值时△OAB的面积.
(1)∵点AB均是反比例函数y=
(k>0)上的点,PC⊥x轴,PD⊥y轴,k x
∴S△ODB=S△OCA=
,即△ODB与△OCA的面积相等;k 2
(2)设P(x,
),则A(x,6 x
),B(k,k x
),6 x
∵点P在反比例函数y=
的图象上,6 x
∴S矩形PDOC=6,
∵S△ODB=S△OCA=
,k 2
∴S四边形PBOA=S矩形PDOC-(S△ODB+S△OCA)=6-k,
∴S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB=6-k-2×
(1 2
-6 x
)(x-k x
)=k-kx 6
,k2 6
∴当k=
时S有最大值,S最大=3 2
-3 2
=(
)2
3 2 6
;9 8
当k=
时,S△PAB=3 2
(1 2
-6 x
)(x-k x
)=kx 6
,29 32
∴S△OAB=S+S△PAB=
+9 8
=29 32
.65 32
答案解析:(1)直接根据反比例函数系数k的几何意义进行解答即可;
(2)设出P点坐标,进而可得出A、B两点坐标,由反比例函数系数k的几何意义可知S=S△OAB-S△PAB=S△四边形PBOA-2S△PAB,再把A、B、P三点的坐标代入即可.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:本题考查的是反比例函数综合题,树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键.