如图,已知:正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数y=kx(k>0,x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S.(1)求点B坐标和k的值.(2)当S=92时,求P的坐标.(3)写出S关于m的函数关系式.

问题描述:

如图,已知:正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,点B在函数y=

k
x
(k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数y=
k
x
(k>0,x>0)的图象上的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S.

(1)求点B坐标和k的值.
(2)当S=
9
2
时,求P的坐标.
(3)写出S关于m的函数关系式.

(1)∵正方形OABC的面积为9,
∴OA=OC=3,
∴B(3,3).
又∵点B(3,3)在函数y=

k
x
(k>0,x>0)的图象上,
∴k=9.
(2)分两种情况:①当点P1在点B的左侧时,
∵P1(m,n)在函数y=
k
x
上,
∴mn=9.
∴则S=m(n-3)=
9
2

∴m=
3
2

∴n=6.
∴P1
3
2
,6);
②当点P2在点B或B的右侧时,
∵P2(m,n)在函数y=
k
x
上,
∴mn=9.
∴S=n(m-3)=mn-3n=
9
2

∴n=1.5,
∴m=6.
∴P2(6,1.5).
(3)当0<m<3时,S=9-3m;
当m≥3时,当x=m时,P的纵坐标是
9
m

则与矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是边长是3,宽是
9
m
的矩形,
则面积是:
27
m

因而S=9-
27
m

答案解析:(1)根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系,即可求得反比例函数解析式,进而求得B的坐标;
(2)根据S=n(m-AO)即可得到方程求解;
(3)根据S=n(m-AO)即可写出函数解析式.
考试点:反比例函数综合题.

知识点:本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系,把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键.