若二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,则自然数a=______.

问题描述:

若二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,则自然数a=______.

∵原方程至少有一个整数根,∴a≠0,△=4(2a-1)2-4a•4(a-3)=4(8a+1)为完全平方数,设8a+1=(2m+1)2(m为自然数),∴a=12m(m+1)代入原方程,得12m(m+1)x2+2[m(m+1)−1]x+2m(m+1)−12=0,解之得,x1=−2+4...
答案解析:由原方程至少有一个整数根,得到a≠0,△=4(2a-1)2-4a•4(a-3)=4(8a+1)为完全平方数,可设8a+1=(2m+1)2(m为自然数),从而得到a=

1
2
m(m+1),把它代入原方程然后利用求根公式解得x1=−2+
4
m
x2=−2−
4
m+1
,由于x1,x2中至少有一个整数,m为自然数,利用整数的整除性即可求出m的值,最后计算出对应的a的值.
考试点:一元二次方程的整数根与有理根;根的判别式.
知识点:本题考查了一元二次方程有整数根的条件:判别式△=b2-4ac为完全平方数.也考查了利用求根公式解一元二次方程以及整数的整除性质.