存在正整数a,能使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,则a=_.

问题描述:

存在正整数a,能使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,则a=______.

根据题意得a≠0,△=4(2a-1)2-4a•4(a-3)
=4(8a+1),
x=

−2(2a−1)±2
8a+1
2a
=-2+
1
a
±
8a+1
a

8a+1为完全平方数,而a为正整数,
当8a+1=9、25、49、81时,即a=1、3、6、10,关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根.
故答案为1,3,6,10.