已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,求a的值.

问题描述:

已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,求a的值.

将原方程变形为(x+2)2a=2(x+6).
显然x+2≠0,于是a=

2(x+6)
(x+2)2

由于a是正整数,所以a≥1,即
2(x+6)
(x+2)2
≥1
所以x2+2x-8≤0,
(x+4)(x-2)≤0,
所以-4≤x≤2(x≠-2).
当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为1,6,10,3,
14
9
,1
∴a=1,3,6,10
说明从解题过程中知,当a=1时,有两个整数根-4,2;
当a=3,6,10时,方程只有一个整数根.
综上所述,当a=1,3,6,10时,关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根.
答案解析:首先将原方程变形为(x+2)2a=2(x+6),进而分析x+2,以及a的取值,得出所有的可能结果.
考试点:一元二次方程的整数根与有理根;解一元二次方程-因式分解法.
知识点:此题主要考查了在关于x的一元二次方程中,如果参数是一次的,可以先对这个参数来求解,题目比较典型.