三角函数解答题：已知函数f(x)=sin（x/2）cos（x/2）+√3cos²（x/2）已知函数f(x)=sin（x/2）cos（x/2）+√3cos²（x/2）（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）的形式,并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac,且边b所对的角为x,试求角x的范围及此时函数f(x)的值域.

f(x)=sin(x/2)cos(x/2)+√3cos²(x/2)
=(1/2)sinx+√3*[(cosx+1)/2]
=(1/2)sinx+(√3/2)cosx+(√3/2)
=sin[x+(π/3)]+(√3/2)
当sin[x+(π/3)]=0时的x就是其对称中心
所以，x+(π/3)=kπ（k∈Z）
则，x=kπ-(π/3)（k∈Z）
由余弦定理有：cosx=(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²+c²-ac)/(2ac)
因为a²+b²≥2ac
所以，cosx≥1/2
则，x∈(0,π/3]
所以，x+(π/3)∈(π/3,2π/3]
所以，sin[x+(π/3)]∈[√3/2,1]
则，f(x)∈[√3,(√3+2)/2]

1.根据sin2x=2sinxcosx,2cos²x-1=cos2x,得
原式=(1/2)*sinx+(√3/2)cosx+√3/2=sin(x+60°)+√3/2
因此图像对称中心的横坐标为x=180°*k-60°,(k∈Z)
2.根据余弦定理,b^2=a^2+c^2-2accosx=ac
即(2cosx+1)ac=a^2+c^2
2cosx+1=(a^2+c^2)/ac
又a^2+c^2>=2ac,
所以2cosx+1>=2
cosx>=1/2
所以0°