已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中a,b∈R.若函数f(x)仅在x=0处有极值,则a的取值范围是_.

问题描述:

已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b,其中a,b∈R.若函数f(x)仅在x=0处有极值,则a的取值范围是______.

由题意,f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4)
要保证函数f(x)仅在x=0处有极值,必须方程4x2+3ax+4=0没有实数根或者只有一根是0(但显然不是,舍去).
由判别式有:(3a)2-64<0,∴9a2<64
∴-

8
3
<a<
8
3

∴a的取值范围是(−
8
3
8
3
)

故答案为:(−
8
3
8
3
)