已知函数f（x）=x+1/x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1/a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是_．
问题描述：
已知函数f（x）=x+
+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[1 x
，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，则a的取值范围是______． 1 a
答
存在ξ1、ξ2∈[
，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[1 a
，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤91 a
∵函数f（x）=x+
+a2，ξ1∈[1 x
，a]（a＞1），∴f（x）=x+1 a
+a2≥2+a2，即f（x）min=2+a2；1 x
∵g（x）=x3-a3+2a+1，∴g′（x）=3x2，∴函数g（x）在[
，a]（a＞1）上单调递增，1 a
∴g（x）max=g（a）=2a+1
∴|2+a2-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．