如图,在直角坐标系中,△ABC满足,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x、y轴上,当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时,点C随着在y轴正半轴上运动.(1)当A点在原点时,求原点O到点B的距离OB;(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB.

问题描述:

如图,在直角坐标系中,△ABC满足,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x、y轴上,当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时,点C随着在y轴正半轴上运动.
(1)当A点在原点时,求原点O到点B的距离OB;
(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB.

当A点在原点时,AC在y轴上,BC⊥y轴,所以
OB=AB=

AC2+CB2
=2
5

(2)当OA=OC时,△OAC是等腰直角三角形
AC=4,OA=OC=2
2

过点B作BE⊥OA于E,过点C作CD⊥OC,且CD与BE交于点D,
∵∠2+∠ACD=90°,∠3+∠ACD=90°,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2=45°,
∴∠3=45°,
∴△CDB是等腰直角三角形,
∵CD=BD,
BC=2,CD=BD=
2

BE=BD+DE=BD+OC=3
2
,OB=
BE2+OE2
=2
5

答案解析:(1)当A点在原点时,距离OB即为AB长,利用勾股定理求解即可;
(2)OA=OC时,△OAC是等腰直角三角形.连接OB,构造相应的直角三角形,得到求OB的长的一些必须的线段即可.
考试点:坐标与图形性质.
知识点:解决本题的关键是根据题意,得到相应的图形,构建一定的直角三角形求解.