Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示,∠C=90°,AB=6,AC=3,点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,如图2所示;当点B滑动至点O重合时,运动结束.在

问题描述:

Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示,∠C=90°,AB=6,AC=3,点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,如图2所示;当点B滑动至点O重合时,运动结束.在上述运动过程中,⊙G始终以AB为直径.

(1)试判断在运动过程中,原点O与⊙G的位置关系,并说明理由;
(2)设点C坐标为(x,y),试求出y与x的关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)根据对问题(1)、(2)的探究,请你求出整个过程中点C运动的路径的长.

(1)原点O与⊙G的位置关系是:点O在⊙G上;
如图3,连接OG,∵∠AOB是直角,G为AB中点,
∴GO=

1
2
AB=半径,故原点O始终在⊙G上.
(2)∵∠ACB=90°,AB=6,AC=3,∴∠ABC=30°.
连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,如图4,
∴∠AOC=∠ABC=30°,
在Rt△ODC中,tan∠COD=
CD
OD
,即tan30°=
y
x

∴y与x的关系式是:y=
3
3
x

自变量x的取值范围是
3
3
2
≤x≤3
3

(3)∵由(2)中的结论可知,点C在与x轴夹角为30°的射线上运动.
∴如图5,点C的运动路径为:C1C2=OC2-OC1=6-3=3;
如图6,点C的运动路径为:C2C3=OC2-OC3=6-3
3

∴总路径为:C1C2+C2C3=3+6−3
3
=9−3
3