若f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(b)=0,令F(x)=(x-a)^2f(x),证明:在(a,b)内至少有一点e使得F(e)二阶导数=0

问题描述:

若f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(b)=0,令F(x)=(x-a)^2f(x),证明:在(a,b)内至少有一点e使得F(e)二阶导数=0

F(x)=(x-a)^2f(x),
F(a)=0,F(b)=0 故存在c使F‘(c)=0 (aF'(x)=2(x-a)f(x)+(x-a)^2f'(x)=(x-a)(f(x)+(x-a)f'(x))
由于F‘(a)=0,F‘(c)=0,故存在e (a

F(X)=(X-a)^2*f(x),
所以F(a)=0,f(b)=0
所以F(X)在(a,b)内至少存在一点e满足F'(e)=0

可导必连续,所以函数f(x)在[a,b]内连续
则F(x)也是连续的
根据罗尔定理,F(x)满足
在[a,b]上连续;
在(a,b)内可导;
a≠b;
F(a)=(a-a)²f(a)=0
F(b)=(b-a)²f(b)=0=F(a)
那么在区间(a,b)内至少存在一点 ξ1 (a