已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)的图像上距离原点O最近的点1)若点P的坐标(a,f(a)),求证a+f(a)f'(a)=o (2)若函数y=f(x)的图像不通过坐标原点O,证明直线OP与函数y=f(x)的图像上过P点的切线互相垂直
问题描述：
已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)的图像上距离原点O最近的点
1)若点P的坐标(a,f(a)),求证a+f(a)f'(a)=o
(2)若函数y=f(x)的图像不通过坐标原点O,证明直线OP与函数y=f(x)的图像上过P点的切线互相垂直
答
1)从图像上看很明显。如果a+f(a)f'(a)不=0，则必有离原点更近的点。
2）OP的斜率：f(a)/a
图像上过P点的切线的斜率：-a/f(a)
显然是互相垂直的
答
设函数上任意点到原点的距离为L(x,y),则L(x,y) = x*x + y*y.
当函数处于p点的时候,L取得最小值,则L对x的偏微分必为0.
即x*x + y*y的对x偏微分为0,可得2x + 2y*y'= 0.整理可得：a+f(a)f'(a)=o .
而若函数f不过原点,则f(a)不等于零.则f'(a) = -a/f(a).显然函数y=f(x)的图像上过P点的切线互相垂直.