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已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an−1)(n∈N*)．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）求证数列{an}是等比数列．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:21:21

问题描述：

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，Sn＝

1

3

(an−1)(n∈N*)．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求证数列{a_n}是等比数列．

答

（Ⅰ）由S1＝

1

3

(a1−1)，得a1＝

1

3

(a1−1)
∴a₁=−

1

2

又S2＝

1

3

(a2−1)，即a1+a2＝

1

3

(a2−1)，得a2＝

1

4

．
（Ⅱ）当n＞1时，an＝Sn−Sn−1＝

1

3

(an−1)−

1

3

(a n−1−1)，
得

an

an−1

＝−

1

2

，所以{a_n}是首项−

1

2

，公比为−

1

2

的等比数列．
答案解析：（Ⅰ）先通过Sn＝

1

3

(an−1)求出a₁，进而通过a₂=S₂-S₁，求得a₂
（Ⅱ）当n＞1时可通过a_n=S_n-S_n-1，进而化简得

an

an−1

是常数，同时通过（Ⅰ）中

a2

s1

可知亦为此常数，进而可证明{a_n}是等比数列．
考试点：等比关系的确定；数列的求和．

知识点：本题主要考查了等比关系的确定．确定的关键是看

an

an−1

的值为常数．