在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为______．
问题描述：
在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为______．
答
（1）高AD在三角形ABC的外边：
在直角三角形ABD中根据勾股定理得：BD=9，CD=16
∴BC=9+16=25，
∵BC2=625，AB2=225，AC2=400，
∴AC2+AB2=BC2
∴∠A=90，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=45°，
∴sinB=
，4 5
根据角平分线定理：
＝AB AC
＝BE CE
，3 4
∴BE=
，75 7
在三角形ABE中由正弦定理得，
＝AE sin60°
BE sin45°
∴AE=
；60
2
7
（2）高AD在AC的右边：BD=9，CD=16，
∴BC=16-9=7，
在ABC中根据角平分线定理，
∵
＝AB AC
＝BE CE
3 4
∴BE=3，CE=4
在ABE中用余弦定理：
AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos∠ABE=288
∴AE=12
，
2
故答案为：
或1260
2
7
．
2
答案解析：因为三角形BC边上的高AD位置不确定，所以要分两种情况分类即高AD在三角形ABC的外边和 高AD在AC的右边时，分别求出线段AE的长即可．
考试点：勾股定理；角平分线的性质．
知识点：本题考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用、角平分线性质定理、特殊角的锐角三角函数、正选定理和余弦定理的运用，题目的综合性较强，难度较大．