设 f（x）=1+x1−x，又记f1（x）=f（x），fk+1（x）=f（fk（x）），k=1，2，…，则f2009（x）=（ ）A. 1+x1−xB. x−1x+1C. xD. −1x
问题描述：
设 f（x）=
，又记f1（x）=f（x），fk+1（x）=f（fk（x）），k=1，2，…，则f2009（x）=（ ）1+x 1−x
A.
1+x 1−x
B.
x−1 x+1
C. x
D. −
1 x
答
依题意得f1（x）=
，f2（x）=-1+x 1−x
，f3（x）=1 x
，f4（x）=x，f5（x）=x−1 1+x
=f1（x）1+x 1−x
即函数列{fK（x）}是以4为周期的函数列，注意到2009=4×502+1，因此f2009（x）=f1（x）=
1+x 1−x
故选A．
答案解析：根据fk+1（x）=f（fk（x）），分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x）发现函数列{fK（x）}是以4为周期的函数列，进而可知f2009（x）=f1（x），求得答案．
考试点：函数的周期性．
知识点：本题主要考查函数的周期性．解本题关键是找出函数列的周期．