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设f（x）=1+x1−x，又记f1（x）=f（x），fk+1（x）=f（fk（x）），k=1，2，…，则f2009（x）=（　　） A.-1x B.x C.x−1x+1 D.1+x1−x

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:22:43

问题描述：

设f（x）=

1+x

1−x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₀₉（x）=（　　）
A. -

1

x

B. x
C.

x−1

x+1

D.

1+x

1−x

答

因为f（x）=

1+x

1−x

，且f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），
所以有：f₂（x）=f（f₁（x））=f（

1+x

1−x

）=

1+

1+x

1−x

1−

1+x

1−x

=-

1

x

；
f₃（x）=f（f₂（x））=f（-

1

x

）=

1−

1

x

1+

1

x

=

x−1

x+1

；
f₄（x）=f（f₃（x））=f（

x−1

x+1

）=

1+

x−1

x+1

1−

x−1

x+1

=x．
所以f_k（x）的周期为4，又2009=4×1002+1
故f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1−x

故选D．