设f（x）=1+x1−x，又记f1（x）=f（x），fk+1（x）=f（fk（x）），k=1，2，…，则f2009（x）=（　　）A. -1xB. xC. x−1x+1D. 1+x1−x

问题描述：

设f（x）=

1+x

1−x

，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₀₉（x）=（　　）
A. -

B. x
C.

x−1

x+1

1+x

1−x

答

因为f（x）=

1+x

1−x

，且f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），
所以有：f₂（x）=f（f₁（x））=f（

1+x

1−x

）=

1+x

1−x

1−

1+x

1−x

；
f₃（x）=f（f₂（x））=f（-

）=

1−

x−1

x+1

；
f₄（x）=f（f₃（x））=f（

x−1

x+1

）=

x−1

x+1

1−

x−1

x+1

=x．
所以f_k（x）的周期为4，又2009=4×1002+1
故f₂₀₀₉（x）=f₁（x）=

1+x

1−x

故选D．
答案解析：先由f（x）=

1+x

1−x

以及f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），求出f_k（x）的前几项，得到其周期为4，即可求得结论．
考试点：数列递推式．

知识点：本题主要考查数列递推式的应用．解决本题的关键在于由前几项得到其循环周期为4．