如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．（1）求证：△BCD是等腰直角三角形；（2）若BD=8厘米，求AC的长．
问题描述：
如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：△BCD是等腰直角三角形；
（2）若BD=8厘米，求AC的长．
答
（1）证明：如图所示，∵BD⊥BC，EF⊥AB，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3．∵AC⊥BC，DB⊥BC，∴AC∥BD．∴∠A=∠2．∴∠A=∠3．∴又∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，∴△ACB≌△EBD．∴BC=DB．∴△BCD是等腰直...
答案解析：（1）要证△BCD是等腰直角三角形，只需证BC=DB，由已知BD⊥BC，EF⊥AB，可证∠2=∠3，由已知AC⊥BC，DB⊥BC，可证AC∥BD，得∠A=∠2，即可证得∠A=∠3，又已知∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，符合三角形全等的判定定理AAS，即可证得△ACB≌△EBD，所以BC=DB，即证△BCD是等腰直角三角形．
（2）由（1）知△ACB≌△EBD，得到AC=EB，又因为BD=8cm，即BC=8cm．又因为E是BC中点，故BE=4，即可求AC=4cm．
考试点：全等三角形的判定与性质．
知识点：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．