设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a、b、c为常数）的导函数为f'(x),对任意X∈R,不等式f(x)≥f'(x)恒成立.则b^2/(a^2+c^2)的最大值为.
问题描述：
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a、b、c为常数）的导函数为f'(x),对任意X∈R,不等式f(x)≥f'(x)恒成立.则b^2/(a^2+c^2)的最大值为.
答
F(X)=AX^2+BX+C,所以F'(X)=2AX+B
对任意的X∈R,f(x)≥f'(x)恒成立
即AX^2+(B-2A)X+C-B≥0恒成立
该为二次函数抛物线,且函数值不小于0
所以A>0且判别式不大于0
带入数据可得A>0且4AC-4A^2≥B^2
所以(4AC-4A^2)/(A^2+C^2)≥B^2/(A^2+C^2)
所以要求的最大值为(4AC-4A^2)/(A^2+C^2)
因为A>0,上下同时除以A^2得
(C/A-1)/1+(C/A)²*4
设C/A=T
那么要求的最大值为 (T-1)/(T^2+1)*4
变形整理得(T-1)/(T-1)^2+2(T-1)+2 *4
设T-1=M
那么要求的最大值为 4M/(M^2+2M+2)
上下同时除以M得
4/(M+2/M+2)
若要得到最大值,只需 M+2/M最小即可
因为M+2/M≥2√2
所以要求的最大值为
2√2-2
回答完毕,