如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);(2)请证明你认为正确的命题.

问题描述:

如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.

(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.

(1)①②⇒③,正确;①③⇒②,错误,不符合三角形的判定;②③⇒①,正确.
(2)先证①②⇒③.如图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∴∠DGE=∠DGF=90°.
∴AD⊥EF.
再证②③⇒①.如图2,

设AD的中点为O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线.
∴OE=

1
2
AD,OF=
1
2
AD.
即点O到A、E、D、F的距离相等.
∴四点A、E、D、F在以O为圆心,
1
2
AD为半径的圆上,AD是直径.
∴EF是⊙O的弦.
∵EF⊥AD,
∴∠DAE=∠DAF.
即AD平分∠BAC.
答案解析:根据已知及全等三角形的判定方法进行分析,从而得到命题的真假.
考试点:圆内接四边形的性质.

知识点:本题考查了三角形全等的判定定理和性质,同时考查了垂径定理等知识的综合运用.