如图,三角形ABC中,E、F分别是AB、AC上的点,1.AD平分∠BAC,2.DE⊥AB,DF⊥AC,3.AD⊥EF,以此三个中的两三角形ABC中,E、F分别是AB、AC上的点,①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF,以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即①②→③,①③→②,②③→①.证明正确的命题,不正确的举出反例

问题描述:

如图,三角形ABC中,E、F分别是AB、AC上的点,1.AD平分∠BAC,2.DE⊥AB,DF⊥AC,3.AD⊥EF,以此三个中的两
三角形ABC中,E、F分别是AB、AC上的点,①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF,以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即①②→③,①③→②,②③→①.证明正确的命题,不正确的举出反例

①②⇒③,正确;①③⇒②,错误,不符合三角形的判定;②③⇒①,正确.
(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∴∠DGE=∠DGF=90°.
∴AD⊥EF.
(2)∵∠DAE=∠DAF、AD⊥EF,∴EG=FG,∴AD是EF的垂直平分线。
显然,将EF进行平移,只要确保EF⊥AD且被AD平分,都有∠DAE=∠DAF。
这样一来,就无法确保DE⊥AB、DF⊥AC。
∴这个命题是不能成立的。
(3)设AD的中点为O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线.
∴OE=1/2AD,OF=1/2AD.
即点O到A、E、D、F的距离相等.
∴四点A、E、D、F在以O为圆心,1/2AD为半径的圆上,AD是直径
∴EF是⊙O的弦.
∵EF⊥AD,
∴∠DAE=∠DAF.
即AD平分∠BAC.

①②⇒③,正确;①③⇒②,错误(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,∴∠DGE=∠DGF.∴∠DGE=∠DGF=90°.∴AD⊥EF.(2)∵∠DAE...