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过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 19:09:28
问题描述：

过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB，抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程．

答

设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
lAB：y=kx+b，（b≠0）由
y＝kx+b
y＝x2
消去y得：x2-kx-b=0，x1x2=-b．
∵OA⊥OB，∴
OA
•
OB
＝0，∴x1x2+y1y2=0，
所以x1x2+（x1x2）2=-b+（-b）2=0，b≠0，∴b=1，∴直线AB过定点M（0，1），
又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为x2+(y−
1
2
)2＝
1
4
(y＞0)．
答案解析：设P（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用OA⊥OB，结合方程根与系数的关系，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．
考试点：轨迹方程．
知识点：本题主要考查了直接法求轨迹方程，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．

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