设f(x)=a−22x+1,其中a为常数;(1)f(x)为奇函数,试确定a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.

问题描述:

f(x)=a−

2
2x+1
,其中a为常数;
(1)f(x)为奇函数,试确定a的值;
(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.

(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-22−x+1=-a+22x+1,∴2a=22−x+1+22x+1=2•2x1+2x+22x+1=2,∴a=1;(2)f(x)+a>0恒成立,即a-22x+1+a>0,2a>22x+1恒成立,等价于2a>(22x+1)max,而2x>0,2...
答案解析:(1)由奇函数定义可得f(-x)=-f(x)恒成立,由此可得a值;
(2)f(x)+a>0恒成立,可化为2a>

2
2x+1
恒成立,等价于2a>(
2
2x+1
max,利用基本函数的性质可求得(
2
2x+1
max
考试点:函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.
知识点:本题考查奇函数的性质、恒成立问题,考查转化思想,恒成立常常转化为函数最值解决,熟记常见基本初等函数的有关性质可提高解题速度.