已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．
问题描述：
已知△ABC的三边长都是有理数．
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．
答
（1）证明：设三边长分别为a，b，c，cosA=b2+c2-a22bc，∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴b2+c2-a22bc必为有理数，∴cosA是有理数．（2）①当n=1时，显...
答案解析：（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2-a2是有理数，b2+c2-a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出
也为有理数，根据余弦定理可知
b2+c2−a2
2bc
=cosA，进而可知cosA是有理数．
b2+c2−a2
2bc
（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≤k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k-1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k-1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．
考试点：余弦定理的应用；数学归纳法．
知识点：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．