已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____则使根号x+根号y
问题描述：
已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____
则使根号x+根号y
答
将
根号x+根号y两边平方得
x+y+2( 根号xy）2( 根号xy）1因为(x+y)/（2( 根号xy））＞=1
所以只要（t²-1)＞=1原不等式成立
即t²＞=2
因为t必须＞=0
所以t＞=根号2
答
根号x+根号yt>=(√x+√y)^2/(x+y)=(x+y+2√xy)/(x+y)=1+2√xy/(x+y)
只需t^2>=1+2√xy/(x+y)的最大值。
令y=(2√xy)/(x+y)所以t^2>=2,因为t>=0,所以t>＝√2
答
√x+√y≤t√(x+y)恒成立等价于t≥(√x+√y)/√(x+y)恒成立,即t≥max{(√x+√y)/√(x+y)}
注意到[(√x+√y)/√(x+y)]²=(x+y+2√xy)/(x+y)=1+2√xy/(x+y)≤1+(x+y)/(x+y)=1+1=2
∴(√x+√y)/√(x+y)≤√2
且当x=y时(√x+√y)/√(x+y)=√2
于是max{(√x+√y)/√(x+y)}=√2
∴t≥√2,其取值范围为[√2,+∞)