如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，点D是BC边的中点，连接DE．（1）请判断DE与⊙O是怎样的位置关系？请说明理由．（2）若⊙O的半径为4，DE=3，求AE的长．
问题描述：
如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，点D是BC边的中点，
连接DE．
（1）请判断DE与⊙O是怎样的位置关系？请说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，DE=3，求AE的长．
答
（1）相切．证明：连接OE，BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，∴在Rt△BEC中，点D是BC边的中点，∴DE=BD=CD=12BC，∴∠3=∠4，∵∠ABC=90°，OB=OE，∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∴∠2+∠3=90°，∴DE⊥OE...
答案解析：（1）首先作辅助线：连接OE，BE，由AB是⊙O的直径，即可证得∠AEB=90°，又由点D是BC边的中点，即可证得DE=BD，则得∠3=∠4，由∠1=∠2，∠1+∠4=90°，即可证得：DE⊥OE，则可得DE是⊙O的切线；
（2）首先证得△AEO∽△EBD，根据相似三角形的对应边成比例，利用方程思想求解即可求得AE的长．
考试点：切线的判定；圆周角定理．
知识点：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及圆的切线的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用，还要注意圆中的常见辅助线的作法．