已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点.(1)求点P的坐标满足的条件;(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积.

问题描述:

已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点.
(1)求点P的坐标满足的条件;
(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积.

(1)因为OA⊥α,所以OA⊥AP,
由勾股定理可得:|OA|2+|AP|2=|OP|2
即3+(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=x2+y2+z2,化简得:x+y+z=3.
(2)设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H,
则M(3,0,0)、N(0,3,0)、H(0,0,3).
所以|MN|=|NH|=|MH|=3

2

所以等边三角形MNH的面积为:
3
4
×(3
2
)2
=
9
3
2

又|OA|=
3
,故三棱锥0-MNH的体积为:
1
3
×
9
3
2
×
3
=
9
2

答案解析:(1)通过平面α过点A且与直线OA垂直,利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件;
(2)求出平面α与坐标轴的交点坐标,即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积.
考试点:空间两点间的距离公式;棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查空间想象能力,计算能力,转化思想,空间两点距离公式的应用.