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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2−b2＝12ac．（Ⅰ）求sin2A+C2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:23:16
问题描述：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2−b2＝

1
2
ac．
（Ⅰ）求sin2
A+C
2
+cos2B的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

答

（Ⅰ）由余弦定理：cosB＝

1
4

sin2
A+C
2
+cos2B＝sin2(
π
2
−
B
2
)+2cos2B−1
=cos2
B
2
+2cos2B−1
=
1+cosB
2
+2cos2B−1
=−
1
4

（Ⅱ）由cosB=
1
4
，得sinB=
 15
4
．
∵b=2，a2+c2−b2＝
1
2
ac
∴a2+c2＝
1
2
ac+b2＝
1
2
ac+4≥2ac，从而ac≤
8
3

故S△ABC＝
1
2
acsinB≤
 15
3
（当且仅当a=c时取等号）
答案解析：（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对sin2
A+C
2
+cos2B化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过a2+c2−b2＝
1
2
ac．利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值．
考试点：余弦定理．
知识点：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值．考查了学生分析推理和基本运算的能力．

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