已知函数fx=ax^2+lnx(1)当a=-1/2时,求函数fx在闭区间(1/e,e)的值域(2)求函数fx的单调区间(3)若fx在区间(1,2)上不单调,求实数a的取值范围
已知函数fx=ax^2+lnx
(1)当a=-1/2时,求函数fx在闭区间(1/e,e)的值域(2)求函数fx的单调区间(3)若fx在区间(1,2)上不单调,求实数a的取值范围
就是下面几位所说的解法,只是在第2问中,当a=0时,x在(0,+oo)上也是递增的,所以应该是当a》=0时,x在(0,+oo)上递增。
1)当a=-1/2时,fx=-1/2x^2+lnx,求导函数得fx‘=-x+1/x,二次求导的fx’‘=-1-1/x^2,在区间(1/e,e)上二次函数是小于零的,则一次导函数是单调递减的,fx’最小值为f‘(e)=1-1/(2e^2)>0,说明原函数是单调递增的函数,则其值域为[f(1/e),f(e)],即值域为{-1/(2e^2)-1,-e^2/2+1}
2)根据原函数确定定义域为(x>0)求导的fx’=2ax+1/x=(2ax^2+1)/x.当a0时,fx’在整个R上也为增函数。
3)更具上述2问的讨论可知,只有当a
fx=-1/2x²+lnx,显然x>0
f'x=-x+1/x=(1-x²)/x
令f'x1
所以,fx在(1,+无穷)上单调递减
fx在(0,1)上单调递增
在(1/e,e)上,f(x)max=f(1)=-1/2
f(1/e)=-1/2e²-1,f(e)=1-e²/2
f(1/e)-f(e)=(e^4-2e²-1)/2e²>0
所以值域为:(1-e²/2,-1/2)
(2)f'x=2ax+1/x
令f'x>0,当a>0时,解得:x>0
当a所以,当a>0时,fx在(0,+无穷)上单调递增
当a fx在(1/√(-2a),+无穷)上单调递减
(3).fx在区间(1,2)上不单调,
由(2)可知:a解得:-1/2
(1)把a带入求导,f'(x)=0时f(x)取到极值,解得x=1或x=-1,但极值不一定是最值,所以把1,—1,1/e,e都带入f(x),取4个值中最大的和最小的,之间的就是值域,还要注意值域的开闭
(2)也是求导,因为a没有具体值,所以f'(x)=0 => x^2=1/a x有两个根,那么f(x)就有3的单调区间
(3)fx在区间(1,2)上不单调,就表示在这个区间上有一个极值,由(2)可知两个极值一正一负,所以1具体的数据就要你自己算了,只是提供一个思路,有帮助的话,希望采纳