已知圆C:(x-2)平方+(y-3)平方=4,直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,L被圆C截得弦长最短时,求m
问题描述:
已知圆C:(x-2)平方+(y-3)平方=4,直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,L被圆C截得弦长最短时,求m
答
直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,可看出直线L过点A(3,2)
圆心O(2,3)
当AO垂直于L时,L被圆C截得弦长最短时
AO斜率为-1,则L斜率为1
m=-1
答
整理直线L
得到(x+2y-7)m+(2x+y-8)=0
解方程组
x+2y-7=0
2x+y-8=0
得x=3,y=2
也就是说直线L恒过点P(3,2)
容易知道点P在圆C内
要使弦最短,则L必须与OP垂直
OP的斜率为(2-3)/3-2=-1
所以L的斜率1
则-(m+2)/(2m+1)=1
得m=-1