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已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，求当S11+S22+…+Snn最大时n的

分类: 作业答案 • 2022-01-01 11:36:57
问题描述：

已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，求当

S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大时n的值．

答

（Ⅰ）b1+b3+b5=log2（a1a3a5）=log2(a13q6)=6⇒a13q6=26⇒a1q2=4，
∵a1＞1，∴b1=log2a1≠0，
又b1b3b5=0，若b3=0，则log2a3=log2(a1q2)=0，即a1q2=0，这与a1q2=4矛盾，
故b5=log2(a1q4)=0⇒a1q4=1．
∴q2=

1
4
，q=
1
2
，a1=16．
∴an=16•(
1
2
)n−1=25-n．
（Ⅱ）∵bn=log2an=log225−n=5-n，∴{bn}是首项为4，公差为-1的等差数列，
∴Sn=
9n−n2
2
，
Sn
n
=
9−n
2
．
故{
Sn
n
}是首项为4，公差为-
1
2
的等差数列．∵n≤8时，
Sn
n
＞0；
n=9时，
Sn
n
=0； n＞9时，
Sn
n
＜0．故当n=8或n=9时，
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大．

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