柯西中值定理证明：f(a)-f(m)/g(m)-g(b) =f'(m)/g'(m) f(x),g(x)满足在区间a,b连续可导,g'(x)不等于0
问题描述：
柯西中值定理证明：f(a)-f(m)/g(m)-g(b) =f'(m)/g'(m) f(x),g(x)满足在区间a,b连续可导,g'(x)不等于0
m是区间内的数
{f(a)-f(m)}与{g(m)-g(b)}是在一个括号里面的，主要意思是上面的除以下面的。
答
证明：
方法1
不防记F(x)=g(x)[f(x)-f(a)],
则f(x)与F(x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件,
可知至少存在一点m属于(a,b)使得
[F(b)-F(a)]/[f(b)-f(a)]=F'(m)/f'(m),
即g(b)={g'(m)[f(m)-f(a)]+f'(m)g(m)}/f'(m),整理即得证.
方法2.
记F(x)=[f(x)-f(a)][g(x)-g(b)],
由题知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又F(a)=F(b)=0,因此F(x)在[a,b]上满足罗尔定理,可知至少存在一点m属于(a,b)使得
F'(m)=0,
即f'(m)[g(m)-g(b)]+g'(m)[f(m)-f(a)]=0,整理即得证.