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已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为_．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 22:24:33

问题描述：

已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，则k的最大值为______．

答

若k≤0，则满足条件，
当k＞0，直线y=kx与y=lnx相切时，此时k取得最大值．
设切点为（a，b），
则函数的导数为f′（x）=

1

x

，
即切线斜率k=f′（a）=

1

a

，
则切线方程为y-b=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
即y=

1

a

x+b-1=

1

a

x+lna-1，
∵y=kx是切线，
∴

k＝

1

a

lna−1＝0

，解得a=e，k=

1

e

，
若直线y=kx与曲线y=lnx有公共点，
则k≤

1

e

，
即k的最大值为

1

e

，
故答案为：

1

e