设A=（4 2 2 2 4 2 2 2 4） 试求正交矩阵Q,使得QtAQ为对角阵

1、
设A的特征值为λ
则|A-λE|=
4-λ 2 2
2 4-λ 2
2 2 4-λ 第1行减去第2行
=
2-λ λ-2 0
2 4-λ 2
2 2 4-λ 第2列加上第1列
=
2-λ 0 0
2 6-λ 2
2 4 4-λ 按第1行展开
=(2-λ)(λ^2-10λ+16)
=(2-λ)(2-λ)(8-λ)
解得λ=2,2,8
当λ=2时,
A-2E=
2 2 2
2 2 2
2 2 2 第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(1,0,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
当λ=8时,
A-6E=
-4 2 2
2 -4 2
2 2 -4 第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
0 -6 6
2 -4 2
0 6 -6 第1行加上第3行,第2行除以2,第3行除以6
0 0 0
1 -2 1
0 1 -1 第2行加上第3行×2,交换行数
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
所以正交矩阵Q为
1 1 1
-1 1 1
0 -2 1
2、A对应的二次型
f=4x1²+4x2²+4x3²+4x1x2+4x1x3+4x2x3
三个特征值都是正数,所以A是正定的