求∮(x+y)dx-(x-y)dy 其中L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向 的解法
问题描述：
求∮(x+y)dx-(x-y)dy 其中L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向 的解法
答
∵令P=x+y,Q=-x+y
∴αP/αy=1,αQ/αx=-1
∵L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向
∴根据格林定理,得
∮(x+y)dx-(x-y)dy=∫∫(αQ/αx-αP/αy)dxdy (S是椭圆区域：x^2/a^2+y^2/b^2≤1)
=-2∫∫dxdy
=-2∫dθ∫abrdr (作变换：x=a*r*cosθ,y=b*r*sinθ)
=-2(2π)(ab/2)
=-2πab.=-2∫∫dxdy
=-2∫dθ∫abrdr
这两部之间是怎么变的？求详情作变换：x=a*r*cosθ，y=b*r*sinθ(这叫做广义极坐标)
则 0≤θ≤2π，0≤r≤1
dxdy=│J│dθdr=a*b*rdθdr(│J│雅克比行列式，自己查阅二重积分变量变换章节)
故∫∫dxdy=∫dθ∫abrdr。