如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4， ∠PAD=60°．求：（1）四棱锥P-ABCD的体积．（2）二面角P-BC-D的正切值．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 12:44:11

问题描述：

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：

（1）四棱锥P-ABCD的体积．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

答

（1）∵AB⊥AD、AB⊥AP，
∴AB⊥平面PAD．
由AB⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
在平面PAD中，作作PE⊥AD，交AD的延长线与E．（因为AE=APcos60°=2＞AD）
∴平面ABCD⊥PE，在Rt△PAE中，PE=APsin60°=2

V_P-ABCD=

AB•AD•PE=2

（6分）
（2）在平面ABCD中，作EF∥DC，交BC的延长线与F，则EF⊥BF，连接PF．∵PE⊥平面ABCD，EF⊥BF∴PF⊥BF
于是∠PEF是二面角P-BC-D的平面角．（10分）
在Rt△PEF中，tan∠PEF=

（12分）

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4， ∠PAD=60°．求： （1）四棱锥P-ABCD的体积． （2）二面角P-BC-D的正切值．