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已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是_．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 12:28:47
问题描述：

已知函数f（x）=

x2+ax+11
x+1
（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是______．

答

∵x∈N*，
∴f（x）=

x2+ax+11
x+1
≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x2-8+3x，又x∈N*，
∴a≥-
8
x
-x+3恒成立，
∴a≥g（x）max，
令g（x）=-
8
x
-x+3（x∈N*），再令h（x）=x+
8
x
（x∈N*），
∵h（x）=x+
8
x
在（0，2
2
]上单调递减，在[2
2
，+∞）上单调递增，而x∈N*，
∴h（x）在x取距离2
2
较近的整数值时达到最小，而距离2
2
较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）=
17
3
，h（2）＞h（3），
∴当x∈N*时，h（x）min=
17
3
．又g（x）=-
8
x
-x+3=-h（x）+3，
∴g（x）max=-
17
3
+3=-
8
3
．
∴a≥-
8
3
．

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