设a1,a2,…,an是一组线性无关的n维向量,证明:任一n维向量都可由它们线性表示.
问题描述:
设a1,a2,…,an是一组线性无关的n维向量,证明:任一n维向量都可由它们线性表示.
答
证明:设a为任一n维向量.
因为a1,a2,…,an,a是n+1个n维向量,
所以a1,a2,…,an,a是线性相关的.
又因为a1,a2,…,an线性无关,
所以r(a1,a2,…,an,a)=r(a1,a2,…,an)=n
因而a能由a1,a2,…,an线性表示,且表示式是唯一的.