已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是(  ) A.x=0 B.x22-y214=1(x≥2) C.x22-y214=1 D.x22-y214=1或x=0

问题描述:

已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是(  )
A. x=0
B.

x2
2
-
y2
14
=1(x≥
2
)
C.
x2
2
-
y2
14
=1

D.
x2
2
-
y2
14
=1或x=0

由题意,①若两定圆与动圆相外切或都内切,即两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,
∴|MC1|=|MC2|,即M点在线段C1,C2的垂直平分线上
又C1,C2的坐标分别为(-4,0)与(4,0)
∴其垂直平分线为y轴,
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切,不妨令与圆C1:(x+4)2+y2=2内切,与圆C2:(x-4)2+y2=2外切,则有M到(4,0)的距离减到(-4,0)的距离的差是2

2
,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以(-4,0)与(4,0)为焦点,以
2
为实半轴长的双曲线,故可得b2=c2-a2=14,故此双曲线的方程为
x2
2
-
y2
14
=1

综①②知,动圆M的轨迹方程为
x2
2
-
y2
14
=1或x=0

应选D.