如图,在平面直角坐标系中,直线y=−1/2x+b(b>0)分别交x轴、y轴于A、B两点.点C(4,0)、D(8,0),以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF,且CF:CD=1:2.设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S. (1

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,直线y=

1
2
x+b(b>0)分别交x轴、y轴于A、B两点.点C(4,0)、D(8,0),以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF,且CF:CD=1:2.设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S.
(1)求点E、F的坐标;
(2)当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式;
(3)若在直线y=
1
2
x+b(b>0)
上存在点Q,使∠OQC等于90°,请直接写出b的取值范围.

(1)∵C(4,0)D(8,0),
∴CD=4,
∵矩形CDEF,且CF:CD=1:2
∴CF=DE=2,
∵E、F在第一象限
∴E(8,2),F(4,2);
(2)由题意知:A(2b,0)B(0,b)在直角三角形ADH中,tan∠BAO=

1
2

①当0<b≤2时,如图,S=0
②当2<b≤4时,如图,设AB交CF于G,AC=2b-4
∵在直角三角形中,tan∠BAO=
1
2
∴CG=b-2
∴S=
1
2
(2b−4)(b−2)
,即S=b2-4b+4
③当4<b≤6,如图,设AB交EF于点G
AD=2b-8
∵在直角三角形ADH中,tan∠BAO=
1
2

∴DH=b-4  EH=6-b
在矩形CDEF中
∵CD∥EF
∴∠EGH=∠BAO
在直角三角形EGH中tan∠EGH=
EH
EG
1
2

∴EG=12-2b
∴S=2×4-
1
2
(12−2b)(6−b)
=-b2+12b-28
④当b>6时,如图,S=8;
(3)设Q(x,-
1
2
x+b),
∵∠OQC=90°,
∴OQ2+CQ2=OC2
∴[x2+(-
1
2
x+b)2]+[(x-4)2+(-
1
2
x+b)2]=16,
∵存在Q,
∴△≥0,
求得:b≤
5
+1,
由已知可得:0<b≤
5
+1