已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，an+1=Sn+n+1，n∈N*，（I）求证：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）求a1+2a2+3a3+…+nan．
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，an+1=Sn+n+1，n∈N*，
（I）求证：数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）求a1+2a2+3a3+…+nan．
答
（Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，an+1=Sn+n+1，n∈N*①，
则：an=Sn-1+n②
则：①-②得：an+1=2an+1
整理得：an+1+1=2（an+1）
所以：
=2（常数），
an+1+1
an+1
由于：a1=1，所以a1+1≠0
则：数列{an+1}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到：an+1=(a1+1)2n-1=2n
a1+2a2+3a3+…+nan=（a1+1）+2（a2+1）+…+n（an+1）-（1+2+…+n）
=1•2+2•22+…+n•2n-
n(n+1) 2
设Tn=1•2+2•22+…+n•2n①
则：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
所以：①-②得：
Tn=2n+1-2-n•2n+1=（n-1）•2n+1+2
所以：a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）•2n+1+2-
n(n+1) 2
=(n-1)2n+1-
n2+n-4 2