f(x)=(2/3)x^2 ..(x≤1) x^2..(x>1) 则f(x)在x=1处的左导数存在且为2,右导数不存在,为无穷大.

这道题我怀疑是你把(2/3)x^3给写成2次方了,如果是这样,本题叙述正确.
按你现在所写,左导数存在,但不是2,这个用左导数定义很容易说明 lim [(2/3)x^2-(2/3)]/(x-1)=4/3,就不多说了.
主要矛盾在右导数,本题关于右导数的叙述是正确的,首先用定义可以求出右导数就是无穷大.你说从图上看不出来,其实是可以看出来的,要注意连续是可导的必要条件,这个函数根本就不是右连续,因此右导数不存在是肯定的.原本不连续的函数我们根本不理会导数的,如果你非要看导数,可以这样看,注意,不连续的函数是不能看切线斜率的,导数是“当自变量增量趋于0时,函数值增量与自变量增量比值的极限”,而现在如果自变量的增量趋于0,函数值的增量不会趋于0,至少是（1/3）以上,因此这个极限一定是无穷大.
另外纠正一下一楼,一楼所求的不是右导数,而是导函数f '(x) 在x=1处的右极限,这个与右导数是不同的.如果导函数f '(x) 连续,右导数与导函数的右极限是相等的,不连续的话,就不一定了.
再给你们举个经典的例子：分段函数
f(x)=x^2sin(1/x) x≠0 0 x=0
这个函数可以算出是连续函数,左右导数都是存在的,函数在x=0可导,但是f '(0+),f '(0-)都不存在.