已知函数f(x)=ax2-x+1(a>0)在(0,+∞)上只有一个零点,而函数g(x)=ax2+(b-2)x+b是偶函数,且函数f(x)在[a,2b]上的最大值为_.

问题描述:

已知函数f(x)=ax2-x+1(a>0)在(0,+∞)上只有一个零点,而函数g(x)=ax2+(b-2)x+b是偶函数,且函数f(x)在[a,2b]上的最大值为______.

∵函数f(x)=ax2-x+1(a>0)在(0,+∞)上只有一个零点
∴△=1-4a=0即a=

1
4

∵函数g(x)=ax2+(b-2)x+b是偶函数,
∴b=2
∴f(x)=
1
4
x2-x+1
而函数f(x)是开口向上的二次函数,对称轴为x=2
则在[
1
4
,4]当x=4时取最大值1
故答案为:1.