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已知x＞0，y＞0，若2yx+8xy＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 21:11:46
问题描述：

已知x＞0，y＞0，若

2y
x
+
8x
y
＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______．

答

根据题意，x＞0，y＞0，则

2y
x
＞0，
8x
y
＞0，
则
2y
x
+
8x
y
≥2
2y
x
•
8x
y
=8，即
2y
x
+
8x
y
的最小值为8，
若
2y
x
+
8x
y
＞m2+2m恒成立，必有m2+2m＜8恒成立，
m2+2m＜8⇔m2+2m-8＜0，
解可得，-4＜m＜2，
故答案为-4＜m＜2．
答案解析：根据题意，由基本不等式的性质，可得
2y
x
+
8x
y
≥2
2y
x
•
8x
y
=8，即
2y
x
+
8x
y
的最小值为8，结合题意，可得m2+2m＜8恒成立，解可得答案．
考试点：函数恒成立问题；基本不等式．
知识点：本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出
2y
x
+
8x
y
的最小值．

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