求函数f(x)=xe^-x的n阶麦克劳林公式
问题描述：
求函数f(x)=xe^-x的n阶麦克劳林公式
我想要具体的过程
f^(n+1)(ξ)=(-1)^(n+1)(ξ-n-1)e^-ξ/(n+1)!
答
这样来简便求
e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...
e^(-x)=1-x+x^2/2!-...+(-1)^nx^n/n!+.
xe^(-x)=x-x^2+x^3/2!...+(-1)^(n+1)x^(n+1)/n!+...f^(n+1)(ξ)＝？f=xe^(-x)f'=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x)f"=-e^(-x)-(1-x)e^(-x)=-(2-x)e^(-x)f"'=e^(-x)+(2-x)e^(-x)=(3-x)e^(-x).....由归纳法设：f^(n)=(-1)^(n+1)(n-x)e^(-x)则有：f^(n+1)=(-1)^(n+2)(n+1-x)e^(-x)=(-1)^(n+1)(x-n-1)e^(-x)所以有：f^(n+1)(ξ)=(-1)^(n+1)(ξ-n-1)e^(-ξ)那最后的答案是什么答案上面不是写了吗？