给定双曲线x∧2-y^2/2=1(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1,P2,求线段p1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作出直线l',使l'与所给双曲线交于两点Q1,Q2,且B是线段Q1Q2的中点,说明理由

问题描述:

给定双曲线x∧2-y^2/2=1(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1,P2,求线段p1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作出直线l',使l'与所给双曲线交于两点Q1,Q2,且B是线段Q1Q2的中点,说明理由

正在做啊恩设P1(x1,y1),P2(x2,y2), 线段P1P2的中点P(x,y),则x1^2-y1^2/2 =1,,2^2-y2^2/2 =1,两式相减得:(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0,∵x1+x2=2x,y1+y2=2y,∴2x(x1-x2)- 2y(y1-y2)/2=0,(y1-y2)/ (x1-x2)=2x/y.这就是直线P1P2的斜率。又因直线过点A(2,1),及中点P(x,y),所以直线的斜率还可表示为(y-1)/(x-2),综上可知2x/y与(y-1)/(x-2) 都表示直线P1P2的斜率,所以2x/y=(y-1)/(x-2),化简得:2x^2-y^2-4x+y=0, 这就是线段P1P2的中点P的轨迹方程。2.设直线L的方程为: y-1=k(x-1)即:y=kx+1-k将其带入双曲线的的方程得:X^2-(k^2x^2+1+k^2+2kx-2k^2x-2k)/2=1整理得:X^2(2-k^2)+x(2k^2-2k)-k^2+2k-3=0设x1,x2 为该方程的根,若要使得点P(1,1)是线段AB的中点,则必有:X1+x2=2成立。现在来验证这个结果是不是成立:假设X1+x2=2成立:根据韦达定理可得:X1+x2=(2k^2-2k)/(k^2-2)=2即:k=2当k等于2时,方程即:2X^2-4x+3=0显然判别式=16-4*2*3=-8